Центр давления жидкости

2.9. Центр давления

Центр давления жидкости

Точка приложениярезультирующей силы давления жидкостина любую поверхность называется центромдавления.

Применительнок рис. 2.12 центром давления является т.D.Определимкоординаты центра давления (xD;zD)длялюбой плоской поверхности.

Из теоретическоймеханики известно, что моментравнодействующей силы относительнопроизвольной оси равен сумме моментовсоставляющих сил относительно той жеоси. За ось в нашем случае примем ось Ох(см. рис. 2.12), тогда

Известнотакже, что являетсямоментом инерции площади относительно оси Ox

В результатеполучаем

откуда

Подставимв это выражение формулу (2.9) для Fигеометрическое соотношение :

Перенесемось момента инерции в центр тяжестиплощадки .Обозначим момент инерции относительнооси, параллельной оси Охи проходящей через т.С, через .Моменты инерции относительно параллельныхосей связаны соотношением

;

тогдаи окончательно получим

(2.11)

Формулапоказывает, что центр давления расположенвсегда ниже центра тяжести площадки,за исключением случая, если площадкагоризонтальна и центр давления совпадаетс центром тяжести. Для простыхгеометрических фигур моменты инерцииотносительно оси, проходящей черезцентр тяжести и параллельной оси Ох(рис. 2.12), определяются по следующимформулам:

для прямоугольника

(2.12)

гдесторона основания параллельна Ох;

для равнобедренноготреугольника

(2.13)

гдесторона основания параллельна Ох;

для круга

(2.14)

Координатадля плоских поверхностей строительныхконструкций чаще всего определяетсяпо координате расположения оси симметриигеометрической фигуры, ограничивающейплоскую поверхность.

Так как такиефигуры (круг, квадрат, прямоугольник,треугольник) имеют ось симметрии,параллельную координатной оси Oz,местоположениеоси симметрии и определяет координатуxD.Например,для прямоугольной плиты (рис.

2.13),определение координаты xDясноиз чертежа.

Рис. 2.13. Схемарасположения центра давления дляпрямоугольной поверхности

Гидростатическийпарадокс. Рассмотримсилу давления жидкости на дно сосудов,изображенных на рис. 2.14.

Рис. 2.14. Силадавления на дно сосудов различных форм

Несмотряна разную форму объемов сосудов,изображенных на этом рисунке, силадавления на дно каждого из них будетодинакова, хотя вес налитой в каждыйобъем жидкости будет различен.Действительно, ,нои hcдлявсех сосудов одинаковы.

2.10. Давление жидкости на криволинейные поверхности

Рассмотримнекоторую криволинейную твердуюбесконечно тонкую поверхность ,находящуюся на некоторой глубинепокоящейся жидкости (рис. 2.15). Координатныеплоскости расположены, как показано нарисунке.

Плоскость хОулежити пределах свободной поверхностижидкости. Ось Ozнаправленавниз.

На поверхности действуют две силы RиR',равныемежду собой и направленные навстречудруг другу.

Рис. 2.15. К определениюрезультирующей силы давления

Любуюиз этих сил можно разложить на трисоставляющие. Например, для силы R'это R'x,R'y,R'z(рис.2.14, а). Тогда искомая сила

(2.15)

Определимсначала силу Rz.Дляэтого через контур поверхности вертикально вверх проведем цилиндрическуюповерхность до пересечения со свободнойповерхностью жидкости (рис. 2.16).

Рис. 2.16. К определениювертикальной составляющей силы давления

Длятого чтобы выделенный жидкий цилиндрнаходился в равновесии, должны выполнятьсяследующие условия: ;;.

Но таккак сила входит только в третье уравнение,рассмотрим это уравнение:.

Изповерхностных сил будем рассматриватьсилы избыточного давления, т.е. исключимиз рассмотрения .Получаем

,

где – вес жидкости в объеме цилиндра,ограниченного свободной поверхностьюжидкости и криволинейной поверхностью.Отсюда

,(2.16)

где – объем цилиндра.

Врезультате получим, что вертикальнаясоставляющая давления жидкости накриволинейную поверхность равна весужидкости в объеме вертикального цилиндра,нижним основанием которого являетсясама криволинейная поверхность, аверхнимоснованием – свободная поверхностьжидкости. Выделенный объем жидкогоцилиндра называют теломдавления ().

Определимгоризонтальные составляющие силы ,т.е.и.Дляопределения выполним построение горизонтальногоцилиндра, ограниченного с одной стороныповерхностью,и с другой стороны – координатнойплоскостью(рис. 2.17).

Рис. 2.17. К определениюгоризонтальной составляющей силыдавления

Аналогичнопредыдущим рассуждениям силы ,в проекции на осьобращаются в ноль. В рассмотренииостается уравнение.

,

где – сила давления на поверхность, образованнуюпересечением координатной плоскостии цилиндрической поверхности. Обозначимплощадь этой плоской поверхностии обратим внимание на то, чтоявляется проекцией криволинейнойповерхности на вертикальную плоскость,параллельную.

,

где -глубина погружения центра тяжестиплощади под уровень свободной поверхностижидкости.

Врезультате получим .

. (2.17)

Таккак составляющая горизонтальна,аналогичные рассуждения приводят кравенству

(2.18)

где – площадь проекции криволинейнойповерхности на вертикальную плоскость,параллельную координатной плоскости;- глубина погружения центра тяжестипод уровень свободной поверхностижидкости.

Таким образом, трисоставляющие для определения результирующейсилы давления жидкости на криволинейнуюповерхность будут:

;;.

Силанаходится по формуле (2.15), а направлениесилы определяется по углам,,между силой и соответствующей проекциейсилы (см. рис. 2.18,а):

. (2.19)

Рассмотрим двапримера определения силы давленияжидкости на цилиндрические поверхности.

1.Жидкость действует на выпуклуюцилиндрическую стенку АВкруговогоочертания (рис. 2.18). Эпюра давления,результирующая сила давления и ее составляющиеипоказаны на рис. 2.18,а.Третьясоставляющая отсутствует, так какповерхность АВперпендикулярнакоординатной плоскости хОу,еедлина в этом направлении равна .

Рис. 2.18. Схемыдействия результирующей силы и еепроекций на цилиндрическую поверхность

Горизонтальнаясоставляющая силы давления на поверхностьАВопределяетсякак сила давления на плоскую проекциюА'В'поверхностиАВнавертикальную плоскость (рис. 2.18, б):

,.

Вертикальнаясоставляющая равна весу жидкости в объеме теладавленияи показана на рис. 2.18,в:

где

В рассматриваемомслучае телом давления является жидкоетело, ограниченное вертикальной призмой,восстановленной по контуру цилиндрическойповерхности.

Силапроходит по линии действия силы тяжести(веса).

Тогда

,(2.20)

а уголнаклона силы определится из соотношения для угла:

2.Жидкость действует на вогнутуюцилиндрическую поверхность АВкруговогоочертания (рис. 2.19). Результирующая силадавления на поверхностиАВиее составляющие ипоказаны на рис. 2.19,а.Значение определяется аналогично предыдущемуслучаю и равно

.

Вертикальнаясоставляющая определяется как весжидкости в объеме тела давления. Но вданном случае, если восстановитьвертикальную призму через контурцилиндрической поверхности до пересеченияс продолжением свободной поверхностижидкости (рис. 2.19, б),втеле призмы жидкости нет.

Для того чтобыопределить ,мы как бы (фиктивно) помещаем в телодавления жидкость. Силабудет направлена в сторону, противоположнуюнаправлению осиOz.

Такойприем используется каждый раз, когдаопределяется вертикальная составляющаядавления жидкости, находящейся снизуот криволинейной поверхности:

где -объемфиктивного тела давления.

Рис.2.19. Схема действия навогнутую со стороны жидкости цилиндрическуюповерхность

Результирующаясила давления Rопределитсяпо формуле (2.20):.

Определениетолщины стенок цилиндрических резервуарови труб

Рассмотримдействие давления со стороны жидкостина трубу круглого поперечного сечения(рис. 2.20).

Пустьось трубы расположена горизонтально,т.е. перпендикулярно плоскости чертежа.Длина трубы ,ее внутренний диаметp,а толщина стенки, которую требуетсяопределить,.По всей длине трубы находится жидкостьпод давлением.

Горизонтальнаясила, стремящаяся разорвать трубу вплоскости yOz(осьОуперпендикулярнаплоскости чертежа), определяется согласноформуле (2.17):

,

где – площадь прямоугольника высотой и длиной.

Рис. 2.20. Действиедавления со стороны жидкости на стенкицилиндрической трубы

Сила,возникающая в материале трубы в сеченииyOz,уравновешиваетсясилами сопротивления. Эти силы распределеныпо площади сечения трубы ;тогда растягивающее напряжение,возникающее в материале стенок трубы,определится по формуле

Отсюда толщинастенок трубы или цилиндрическогорезервуара равна

где – допускаемое напряжение на растяжениедля рассматриваемого материала трубыили резервуара.

Источник: https://studfile.net/preview/5814904/page:7/

Центр давления — Студопедия

Центр давления жидкости

Распределённую нагрузку, действующую на наклонную стенку, заменим сконцентрированной. Для этого найдём на наклонной стенке положение точки D, в которой приложена равнодействующая силы давления. Точку, в которой приложена эта сила, называют центром давления.

Как уже неоднократно рассматривалось, давление, действующее в любой точке, в соответствии с основным уравнением гидростатики складывается из двух частей: внешнего давления P0, передающегося всем точкам жидкости одинаково, и давления столба жидкости P, определяемого глубиной погружения этой точки.

Давление P0 передаётся всем точкам площадки одинаково. Следовательно, равнодействующая Fвн этого давления будет приложена в центре тяжести площадки S. При этом надо учитывать, что в большинстве случаев это давление действует и со стороны жид- кости и с наружной стороны стенки. Давление P увеличивается с увеличением глубины. При этом величина равнодействующей этой силы Fизб известна и равна а точку её приложения необходимо определить.

Для нахождения центра избыточного давления жидкости применим уравнение механики, согласно которому момент равнодействующей силы относительно оси 0X равен сумме моментов составляющих сил, т.е.

где YD координата точки приложения силы Fизб,

Y – текущая глубина.

Учтём, что, если hc выразить как координату точки C по оси Y, то Fизб примет вид:

10. Сила давления жидкости на криволинейную стенку

Чаще всего необходимо

определить силу, действующую на цилиндрическую поверхность, имеющую вертикальную ось симметрии. Возможны два вари- анта. Первый вариант – жидкость воздействует на стенку изнутри.

Во втором варианте жидкость действует на стенку снаружи. Рассмотрим оба этих варианта.

В первом случае выделим объём жидкости, ограниченный рассматриваемым участком цилиндрической поверхности AB, участком свободной поверхности CD, расположенным над участком AB, и двумя вертикальными поверхностями BC и CD, проходящими через точки A и B. Эти поверхности ограничивают объём ABCD, который находится в равновесии. Рассмотрим условия равновесия этого объёма в вертикальном и горизонтальном направлениях. Заметим, что, если жидкость действует на поверхность AB, c какой то силой F, то с такой же силой, но в обратном на- правлении, и поверхность действует на рассматриваемый объём жидкости. Эту силу, перпендикулярную поверхности AB, можно представить в виде горизонтальной и вертикальной составляющих.

Условие равновесия объёма ABCD в вертикальном направлении выглядит, так:

где P0 – внешнее давление, – площадь горизонтальной проекции поверхности AB, G – вес выделенного объёма жидкости.

Условие равновесия этого объёма в горизонтальной плоскости запишем с учётом того, что силы, действующие на одинаковые вертикальные поверхности AD и CE, взаимно уравновешиваются.

Остаётся только сила давления на площадь BE, которая пропорциональна вертикальной проекции поверхности AB.

С учётом частичного уравновешивания будем иметь условие равновесия сил в горизонтальном направлении в виде:

где – глубина расположения центра тяжести поверхности AB. Зная и определим полную силу F, действующую на цилиндрическую поверхность

Во втором случае, когда жидкость воздействует на цилиндрическую поверхность снаружи, величина гидростатического давления во всех точках поверхности AB имеет те же значения, что и в первом случае, т.к. определяется такой же глубиной.

Силы, действующие на поверхность в горизонтальном и вертикальном направлениях, определяются по тем же формулам, но имеют противоположное направление. При этом под величиной G надо понимать тот же объём жидкости ABCD, несмотря на то, что на самом деле он, в данном случае и не заполнен жидкостью.

Положение центра давления на цилиндрической стенке легко можно найти, если известны силы и и определены центр давления на вертикальной проекции стенки и центр тяжести рассматриваемого объёма ABCD. Задача упрощается, если рассматриваемая поверхность является круговой, т.к.

равнодействующая сила при этом пересекает ось поверхности. Это происходит из-за того, что силы давления всегда перпендикулярны поверхности, а перпендикуляр к окружности всегда проходит через её центр.

11. Введение в динамику: классификация видов течения жидкости, основные кинематические понятия

Поток – направленное движение частиц под действием сил.

Траектория жидкой частицы – след оставляемый жидкой частицей при её движении.

Виды течения жидкости

12. Уравнение не разрывности в гидравлической форме для потока жидкости при установившемся движении

Если просуммировать расходы всех элементарных струек в каждом живом сечении потока, то получится уравнение неразрывности для потока при установившемся движении. Обычно его записывают в следующих видах:

или или

Из сказанного видно, что для несжимаемой жидкости при установившемся движении жидкости расход во всех живых сечения потока одинаков, несмотря на то, что площади живого сечения и средние скорости в каждом сечении и могут быть разными. Из уравнения неразрывности вытекает следующее важное соотношение:

т.е. средние скорости в живых сечениях потока обратно пропорциональны их площадям. Уравнение неразрывности потока жидкости в гидравлической форме очень часто применяется в гидравлике для описания движения жидкости в каналах и трубопроводах.

13. Режимы движения жидкости. Число Рейнольдса

Re – мера отношения силы инерции к силе вязкости трения. Re= Fин/Fтр=ma/τS=

=(ρv

Источник: https://studopedia.ru/17_86651_tsentr-davleniya.html

Давление в жидкости. Закон Паскаля. Зависимость давления в жидкости от глубины. урок. Физика 10 Класс

Центр давления жидкости

В чем причина такого эффекта? Дело в том, что при смещении различных слоев жидкости относительно друг друга в ней не возникает никаких сил, связанных с деформацией. Нет сдвигов и деформаций в жидких и газообразных средах, в твердых же телах при попытке сдвинуть один слой против другого возникают значительные силы упругости.

Поэтому говорят, что жидкость стремится заполнить нижнюю часть того объема, в котором она помещается. Газ же стремится заполнить весь объем, в который его помещают.

Но это в действительности заблуждение, так как, если посмотреть на нашу Землю со стороны, мы увидим, что газ (земная атмосфера) опускается вниз и стремится заполнить некоторую область на поверхности Земли. Верхняя граница этой области достаточно ровная и гладкая, как и поверхность жидкости, заполняющей моря, океаны, озера.

Все дело в том, что плотность газа значительно меньше плотности жидкости, поэтому, если бы газ был очень плотным, он точно так же опускался бы вниз и мы видели верхнюю границу атмосферы.

В связи с тем, что в жидкости и газе не возникает сдвигов и деформаций – все силы взаимодействуют между различными областями жидкой и газообразной среды, это силы, направленные по нормальной поверхности, разделяющей эти части. Такие силы, направленные всегда по нормальной поверхности, называются силами давления.

Если мы разделим величину силы давления на некоторую поверхность на площадь этой поверхности, мы получим плотность силы давления, которую называют просто давление (или иногда добавляют гидростатическое давление), даже в газообразной среде, поскольку с точки зрения давления газообразная среда практически ничем не отличается от жидкой среды.

Свойства распределения давления в жидких и газообразных средах исследовались еще с начала XVII века, первым, кто установил законы распределения давления в жидкой и газообразной средах был французский математик Блез Паскаль.

Величина давления не зависит от направления нормали к той поверхности, на которой оказывается это давление, то есть распределение давления изотропно (одинаково) по всем направлениям.

Этот закон был установлен экспериментально. Предположим, что в некоторой жидкости существует прямоугольная призма, один из катетов которой расположен вертикально, а второй – горизонтально. Давление на вертикальную стенку будет равно Р2, давление на горизонтальную стенку будет Р3, давление на произвольную стенку будет Р1.

Три стороны образуют прямоугольный треугольник, силы давления, действующие на эти стороны, направлены по нормали к этим поверхностям. Поскольку выделенный объем находится в состоянии равновесия, покоя, никуда не движется, следовательно, сумма сил, на него действующих, равна нулю.

Сила, действующая по нормали к гипотенузе, пропорциональна площади поверхности, то есть равна давлению, умноженному на площадь поверхности. Силы, действующие на вертикальную и горизонтальную стенки, так же пропорциональны величинам площадей этих поверхностей и так же направлены перпендикулярно.

То есть сила, действующая на вертикаль, направлена по горизонтали, а сила, действующая на горизонталь, направлена по вертикали. Эти три силы в сумме равны нулю, следовательно, они образуют треугольник, который полностью подобен данному треугольнику.

Рис. 1. Распределение сил, действующих на предмет

В силу подобия этих треугольников, а они подобны, так как образующие их стороны перпендикулярны друг другу, следует, что коэффициент пропорциональности между площадями сторон этого треугольника должен быть для всех сторон одним и тем же, то есть Р1 = Р2 = Р3.

Таким образом, мы подтверждаем экспериментальный закон Паскаля, утверждающий, что давление направлено в любую сторону и одинаково по величине. Итак, мы установили, что по закону Паскаля давление в данной точке жидкости одинаково по всем направлениям.

Теперь докажем, что давление на одном уровне в жидкости везде одинаково.

Рис. 2. Силы, действующие на стенки цилиндра

Представим, что у нас есть цилиндр, наполненный жидкостью с плотностью ρ, давление на стенки цилиндра соответственно Р1 и Р2 , поскольку масса жидкости находится в состоянии покоя, то силы, действующие на стенки цилиндра, будут равны, так как и площади у них равны, то есть Р1 = Р2. Вот так мы доказали, что в жидкости на одном уровне давление одно и то же.

Рассмотрим жидкость, находящуюся в поле тяжести. Поле тяжести действует на жидкость и пытается ее сжать, но жидкость очень слабо сжимается, так как она не сжимаема и при любом воздействии плотность жидкости всегда одна и та же. В этом серьезное отличие жидкости от газа, поэтому формулы, которые мы рассмотрим, относятся к несжимаемой жидкости и не применимы в газовой среде.

Рис. 3. Предмет с жидкостью

Рассмотрим предмет с жидкостью площадью S = 1, высотою h, плотностью жидкости ρ, который находится в поле тяжести с ускорением свободного падения g.

Сверху давление жидкости Р0 и снизу давление Рh , так как предмет находится в состоянии равновесия, то сумма сил, на него действующих, будет равна нулю.

Сила тяжести будет равна плотности жидкости на ускорение свободного падения и на объем Fт = ρ g V, так как V = h S, а S = 1, то у нас получится Fт = ρ g h.

Суммарная сила давления равна разности давлений, умноженной на площадь поперечного сечения, но так как у нас она равна единице, то P = Рh  – Р0

Так как этот предмет у нас не движется, то  эти две силы равны друг другу Fт = P.

Мы получаем зависимость давления жидкости от глубины или закон гидростатического давления. Давление на глубине h отличается от давления на нулевой глубине на величину ρ g h: Рh =  Р0  + ( ρ g h ).

Используя два выведенных утверждения, мы можем вывести еще один закон – закон сообщающихся сосудов.

Рис. 4. Сообщающиеся сосуды

Два цилиндра различного сечения соединены между собой, нальем жидкость плотностью ρ в эти сосуды. Закон сообщающихся сосудов утверждает: уровни в этих сосудах будут абсолютно одинаковы. Докажем это утверждение.

Давление сверху меньшего сосуда Р0 будет меньше давления на дне сосуда на величину ρ g h, точно так же давление Р0 будет меньше давления на дне и у большего сосуда на такую же величину ρ g h, так как плотность и глубина у них одинаковы, следовательно, эти величины у них будут одинаковы.

Если же в сосуды налить жидкости с разными плотностями, то уровни у них будут различны.

Законы гидростатики были установлены Паскалем еще в начале XVII века, и с тех пор на основе этих законов работает огромное количество самых разных гидравлических машин и механизмов. Мы рассмотрим устройство, которое носит название гидравлический пресс.

Рис. 5. Гидравлический пресс

В сосуде, состоящем из двух цилиндров, с площадью сечения S1 и S2  налитая жидкость устанавливается на одной высоте. Поставив поршни в эти цилиндры и приложив силу F1, получим F1 = Р0 S1.

Приложив силу F2, получим F2 = Р0 S2.

Из-за того, что давления, приложенные к поршням, одинаковы, легко увидеть, что сила, которую необходимо приложить к большому поршню, чтобы удержать его в покое, будет превышать силу, которая приложена к малому поршню, коэффициент отношения этих сил есть площадь большого поршня делить на площадь малого поршня.

S2

F2 = F1  ̶

S1

Прикладывая сколь угодно малое усилие к малому поршню, мы разовьем очень большое усилие на большем поршне – именно таким образом и работает гидравлический пресс. Усилие, которое будет приложено к большему прессу или к детали, помещенной в то место, будет сколь угодно большим.

Следующая тема – законы Архимеда для неподвижных тел.

Домашнее задание

  1. Дать определение закону Паскаля.
  2. Что утверждает закон сообщающихся сосудов.
  3. Ответить на вопросы сайта (Источник).

Список рекомендованной литературы

  1. Тихомирова С.А., Яворский Б.М. Физика (базовый уровень) – М.: Мнемозина, 2012.
  2. Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. – М.: Илекса, 2005.
  3. Громов С.В., Родина Н.А. Физика 7 класс, 2002.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Источник: https://interneturok.ru/lesson/physics/10-klass/bmehanika-sistemy-telb/davlenie-v-zhidkosti-zakon-paskalya-zavisimost-davleniya-v-zhidkosti-ot-glubiny

Сила давления жидкости на плоскую стенку произвольной формы

Центр давления жидкости

Пусть имеется фигура произвольной формы площадью со в плоскости Оl, наклоненной к горизонту под углом α (рис. 3.17).

Для удобства вывода формулы для силы давления жидкости на рассматриваемую фигуру повернем плоскость стенки на 90° вокруг оси 01 и совместим ее с плоскостью чертежа.

Выделим на рассматриваемой плоской фигуре на глубине h от свободной поверхности жидкости элементарную площадку dω.

Тогда элементарная сила, действующая на площадку dω, будет

Рис. 3.17.Схема к определению силы давления жидкости на плоскую стенку

Интегрируя последнее соотношение, получаем суммарную силу давления жидкости на плоскую фигуру

Учитывая, что , получаем

или

Последний интеграл равен статическому моменту площадки со относительно оси Оу, т.е.

где lС расстояние от оси Оу до центра тяжести фигуры. Тогда

Так как , то

т.е. суммарная сила давления на плоскую фигуру равна произведению площади фигуры на гидростатическое давление в ее центре тяжести.

Точка приложения суммарной силы давления (точка d, см. рис. 3.17) называется центром давления. Центр давления находится ниже центра тяжести плоской фигуры на величину е. Последовательность определения координат центра давления и величины эксцентриситета изложена в параграфе 3.13.

В частном случае вертикальной прямоугольной стенки получим (рис. 3.18)

Рис. 3.18.Схема к определению силы давления жидкости на горизонтальную и вертикальную стенку

В случае горизонтальной прямоугольной стенки будем иметь

(3.31)

Гидростатический парадокс

Формула для силы давления на горизонтальную стенку (3.31) показывает, что суммарное давление на плоскую фигуру определяется лишь глубиной погружения центра тяжести и площадью самой фигуры, но не зависит от формы того сосуда, в котором находится жидкость.

Поэтому, если взять ряд сосудов, различных по форме, но имеющих одинаковую площадь дна ωг и равные уровни жидкости H, то во всех этих сосудах суммарное давление на дно будет одинаковым (рис. 3.19).

Гидростатическое давление обусловлено в данном случае силой тяжести, но вес жидкости в сосудах разный.

Рис. 3.19.Схема к объяснению гидростатического парадокса

Возникает вопрос: как же различный вес может создать одинаковое давление на дно? В этом кажущемся противоречии и состоит так называемый гидростатический парадокс. Раскрытие парадокса заключается в том, что сила веса жидкости действует в действительности не только на дно, но еще и на другие стенки сосуда.

В случае расширяющегося кверху сосуда очевидно, что вес жидкости больше силы, действующей на дно. Однако в данном случае часть силы веса действует на наклонные стенки. Эта часть есть вес тела давления.

В случае сужающегося к верху сосуда достаточно вспомнить, что вес тела давления G в этом случае отрицателен и действует на сосуд вверх.

Центр давления и определение его координат

Точку приложения суммарной силы давления называют центром давления. Определим координаты центра давления ld и yd (рис. 3.20). Как известно из теоретической механики, при равновесии момент равнодействующей силы F относительно некоторой оси равен сумме моментов составляющих сил dF относительно той же оси.

Рис. 3.20.Схема к определению координат центра давления

Составим уравнение моментов сил F и dF относительно оси Оу:

Силы F и dF определим по формулам

Тогда

Разделив последнее соотношение на γ и sinα, получим

где – момент инерции площади фигуры относительно оси Оу.

Отсюда

Заменив Jy по известной из теоретической механики формуле , где Jc момент инерции площади фигуры относительно оси, параллельной Оу и проходящей через центр тяжести, получим

Из этой формулы следует, что центр давления всегда расположен ниже центра тяжести фигуры на расстоянии . Это расстояние называется эксцентриситетом и обозначается буквой е.

Координата yd находится из аналогичных соображений:

где – центробежный момент инерции той же площади относительно осей Оу и Ol. Если фигура симметрична относительно оси, параллельной оси Ol (см. рис. 3.20), то, очевидно, , где ус – координата центра тяжести фигуры.

Источник: https://studme.org/33914/tovarovedenie/sila_davleniya_zhidkosti_ploskuyu_stenku_proizvolnoy_formy

Лекция 2. Давление жидкости на плоские и криволинейные поверхности

Центр давления жидкости

Давление жидкости на плоские и криволинейные поверхности.

При определении силового действия жидкости на твердую поверхность обычно решают две задачи: определяют величину равнодействующей сил гидростатического давления и находят точку ее приложения, которая имеет название: центр давления.

d)Сила давления жидкости на плоское горизонтальное дно.

Точка приложения этой силы – центр тяжести площадки . Если определим силу гидростатического давления Р на площадку как , то , где Ризб – сила избыточного давления.

e)Сила давления жидкости на произвольно ориентированную плоскую поверхность.

Рис. 9. Вывод величины и точки приложения силы гидростатического давления на плоскую поверхность.

Здесь : С- центр тяжести

D- центр давления

В пределах площадки выберем бесконечно малую площадку dω – на глубине h на расстоянии X по оси Z и Z по оси X.

hc – расстояние от свободной поверхности жидкости до центра С тяжести площадки – глубина погружения центра тяжести.

hd – глубина погружения точки, в которую приложена равнодействующая силы гидростатического давления или глубина погружения центра давления.

Xc, Xд; Zc, Zд – координаты указанных центров.

Сила гидростатического давления, действующая на элементарную площадку dω:

Полная сила гидростатического давления на площадку :

(2)

Поскольку на свободную поверхность давление действует постоянное по величине давления, то интеграл от константы равен:

Второй интеграл:

Здесь

– статический момент площадки относительно оси ох – поэтому =

Подставив оба интеграла в выражение равнодействующей силы (2), получим:

Сила полного гидростатического давления на произвольно ориентованную плоскую поверхность равна произведению полного гидростатического давления в центре тяжести рассматриваемой площадки на величину этой площадки.

Координаты точки приложения силы полного гидростатического давления определяются как для равнодействующей параллельных сил – силы избыточного давления и силы внешнего давления на свободную поверхность:

Р0 прикладывается в центре тяжести рассматриваемой площадки. Если, открыта поверхность жидкости, то Р0=Ратм и сила Р0 часто исключается из расчетов.

Определяем точку приложения (XD, ZD). Составляем уравнения моментов относительно оси ОХ на основании теоремы Вариньона (момент равнодействующей сил равняется сумме моментов всех составляющих сил относительно любой оси для тела, находящемся в состоянии механического равновесия):

, то есть

где

dРизб – элементарная сила избыточного давления на элементарную площадку dω на расстоянии Z от оси ОХ.

Ризб – сила избыточного давления на всю площадку .

где h=zsina

Здесь – момент инерции площадки – относительно оси ox ‒

– центральный момент инерции – относительно оси, проходящей через центр тяжести С и параллельно оси Х:

Центр давления всегда находится ниже, чем центр тяжести.

Составим уравнение моментов относительно оси ZD и получим координату XD – точки приложения равнодействующей силы избыточного давления – центра давления.

Для площадок, симметричны относительно оси, параллельной оси ОХ, центр тяжести и центр давления расположены на одной вертикальной прямой, параллельной оси Z.

с) Давление жидкости на криволинейную поверхность.

Рис. 10. Сила гидростатического давления на криволинейную поверхность.

Выберем в среде жидкости, находящейся в состоянии покоя, произвольный объем W, ограниченный поверхностью S.

Силы гидростатического давления направлены по внутренним нормалям к граничной поверхности. Виделим криволинейную элементарную площадку d. На нее будет действовать сила полного гидростатического давления dP с проекциями dPx, dPy, dPz. Тогда из уравнения (1) имеем:

где – проекция площадки – на плоскость, перпендикулярную оси ОХ.

– перпендикулярную OY

– перпендикулярную OZ

Для проекции dPz на плоскость, перпендикулярную оси OZ, выражение

Можно проинтегрировать и записать в виде:

, где WТД – объем жидкости, который

называется телом давления.

Тело давления – это объем жидкости, образованный рассматриваемой площадкой, отмеренный по нижний образующей криволинейной поверхности, а также ограниченный вертикальной поверхностью, установленной от границ этой криволинейной поверхности к свободной поверхности жидкости или ее продолжением. Если тело давления находится со смачиваемой стороны поверхности, оно считается отрицательным (перед формулой ставится минус), а если с несмачиваемой стороны -то позитивным (со знаком плюс).

Рис. 11. Пример определения „тела давления”.

Для результирующей силы полного гидростатического давления на криволинейную поверхность получим выражения:

Для результирующей избыточного гидростатического давления на криволинейную поверхность имеем аналогичные выражения:

Направление вектору силы полного или избыточного гидростатического давления определяется углом a

или

Закон Архимеда.

На тело, погруженное в жидкость, действует сила гидростатического давления, или подъемная сила, которая равняется по величине веса жидкости, вытесненной телом. Она направлена вертикально вверх и проходит сквозь центр тяжести вытесненной жидкости. И называется Силой Архимеда.

На поверхность АВС действует сила

Рис.12. Закон Архимеда с точки зрения определения гидростатического давления на криволинейные поверхности.

На поверхность АDС действует сила –

Результирующая сила: сила Архимеда:

Подъемная сила или сила Архимеда прилагаемая в центре погруженной части тела, который называется центром водоимещения. Тело плавает, если вес его не превышает подъемную силу, которая действует со стороны жидкости.

Эпюры полного и избыточного гидростатических давлений.

b) На вертикальную стенку:

Рис. 13. Эпюры гидростатического давления на плоские вертикальные поверхности.

– полное гидростатичесое давление

– сила избыточного давления

– расстояние от свободной поверхности жидкости

до центра давления.

b) На наклонную стенку

– сила избыточного давления

Рис. 14. Эпюры гидростатического давления на наклоненные поверхности.

Источник: https://studopedia.su/11_18539_lektsiya-.html

Сила давления жидкости на плоские стенки (аналитический способ). Точка приложения силы давления (центр давления)

Центр давления жидкости

Пусть имеется плоская стенка площадью w, наклоненная к

горизонту под некоторым углом а и сдерживающая жидкость в прямоугольном резервуаре.

Различные точки стенки, находясь на разных глубинах, испытывают различное давление. Разделив всю площадь w по высоте на ряд горизонтальных, достаточно узких полосок площадью ∆w, определяют силу давления на одну из них, расположенную на глубине h под свободной поверхностью жидкости.

Согласно основному уравнению гидростатики, гидростатическое давление в любой точке на оси полоски определяется формулой

р=р0+γ/h,

где р0— давление на свободной поверхности жидкости.

Так как ширина выделенной полоски мала, то гидростатическое давление во всех ее точках можно считать одинаковым. Тогда силу давления жидкости на выделенную полоску получают путем умножения указанного гидростатического давления

на площадь полоски, т.е .

∆Р=р∆w =(р0+ γ /h) ∆w.

Так как площадь w складывается из суммы площадей поло­

сок (∆w), то сила гидростатического давления на всю стенку

равна сумме сил давления ∆Р на эти полоски: Ʃ∆Р

производим формулы и получается в итоге что:

Р=Рс w1,

т. е . полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидравлическое давление в центре тяжести этой площади. Если Р на свободной поверхности жидкости р0 равно Ратм, то сила Ризб жидкости на плоскую стенку составляет

Ризб = Рс из6 w = γ hc w

Таким образом, сила избыточного давления жидкости на плоскую стенку равна весу цилиндрического столба жидкости, основанием которого является стенка площадью w, а высотой — глубина погружения центра тяжести С стенки от свободной поверхности жидкости hc.

Центр давления – это точка приложения равнодействующей силы на плоскую пов-ть.

теоремой Вариньона: момент равнодействующей системы параллельных сил

равен сумме мометов сил ее составляющих.

Аналитический способ

Если закрытй сосуд р=(р0+ρ g hc)w (Hьютоны)

Если открытый р= ρ g hc w

w1=B* l1 –площадь 1 стенки

w2=B* h2 –площадь 2 стенки

p1= ρ g (h1/2 ) * B l1

p2= ρ g (h1+h2/2) * B h2

а давление в точке Д по формуле hд=hс+ Ус/hс*w

Уc прямогу= B l 3/12 – момент инерции

8. Графоаналитический способ определения силы давления жидкости на плоские прямоугольные стенки и точки ее приложения.

Р=S*B где S это площадь

Р1=Sтреуг*В=(1/2(ρ g h1) * L1)*В

(ρ g h1)-основание а L1 –высота

hд1=2/3 L1

Р2=Sтрапеции*B = ( (ρ g h1)+ (ρ g (h1+h2))) / 2) * h2 *B

H=(2a+b/a+b) * h2/3

a= ρ g h

b= ρ g (h1+h2)-p0

из интернета:

Рассмотрим плоскую прямоугольную поверхность ABEF шириной b, находящуюся под давлением жидкости (рис. 1.3). Глубина до низа поверхности H. Выделим на поверхности элемент шириной b и высотой dh. Сила давления жидкости на этот элемент:

(1.16)

где h – расстояние от свободной поверхности до центра тяжести выделенного элемента.

Эпюра избыточного гидростатического давления на рассматриваемую поверхность будет иметь вид треугольника с катетом внизу Произведение [endif] представляет собой элемент площади эпюр гидростатического давления dF. Так как b для прямоугольных поверхностей величина постоянная, то сила давления на поверхность АВEF определяется по формулам:

(1.17)

(1.18)

где F – площадь эпюры давления.

Таким образом, сила давления на прямоугольную фигуру может быть выражена произведением площади эпюры гидростатического давления F на ширину фигуры b.

Вектор силы давления P проходит через центр тяжести эпюры гидростатического давления. Пересечение вектора силы давления с поверхностью, в пределах которой действует давление, определяет положение центра давления D.

Варианты определения центра тяжести эпюр давления трапецеидальной формы графическими методами показаны на рис. 1.4.

Рис. 1.4. Варианты определения центра тяжести эпюр давления графическими методами

Пример 2. Определить опрокидывающий момент графоаналитическим методом для задачи, условия которой приведены в примере 1.

Рекомендуется начертить стенку в масштабе 1:50 (рис. 1.5). Масштаб эпюр произвольный.

Решение

Площади эпюр:

[endif] Н/м;

Н/м;

Н/м.

Силы гидростатического давления:

Н;

Н;

Н.

Плечи сил определяются измерением с учетом масштаба a1 = 2,57 м,

a2 = 0,44 м, a3 = 0,51 м.

Суммарный опрокидывающий момент

Н·м.

Относительная ошибка графоаналитического метода составила

%.

Рис. 1.5. Графоаналитический метод решения

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Источник: https://zdamsam.ru/a23833.html

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.