Сила давления на наклонную поверхность

Давление жидкости на плоскую наклонную стенку

Сила давления на наклонную поверхность

Пусть мы имеем резервуар с наклонной правой стенкой, заполненный жидкостью с удельным весом γ. Ширина стенки в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа (от читателя), равна b. Стенка условно показана развернутой относительно оси АВ и заштрихована на рисунке. Построим график изменения избыточного гидростатического давления на стенку АВ.

Так как избыточное гидростатическое давление изменяется по линейному закон P=γgh, то для построения графика, называемого эпюрой давления, достаточно найти давление в двух точках, например А и B.

Схема к определению равнодействующей гидростатического давления на плоскую поверхность

Избыточное гидростатическое давление в точке А будет равно:

PA = γh = γ·0 = 0

Соответственно давление в точке В:

PB = γh = γH

где H – глубина жидкости в резервуаре.

Согласно первому свойству гидростатического давления, оно всегда направлено по нормали к ограждающей поверхности.

Следовательно, гидростатическое давление в точке В, величина которого равна γH, надо направлять перпендикулярно к стенке АВ.

Соединив точку А с концом отрезка γH, получим треугольную эпюру распределения давления АВС с прямым углом в точке В. Среднее значение давления будет равно:

Если площадь наклонной стенки S=bL, то равнодействующая гидростатического давления равна:

где hc = Н/2 – глубина погружения центра тяжести плоской поверхности под уровень жидкости.

Однако точка приложения равнодействующей гидростатического давления ц.д. не всегда будет совпадать с центром тяжести плоской поверхности. Если давление p0 равно атмосферному, и оно действует с обеих сторон стенки, то центр тяжести совпадает с центром давления.

Когда же p0 выше атмосферного, то центр давления находится по правилам механики и эта точка находится на расстоянии l от центра тяжести и равна отношению момента инерции площадки относительно центральной оси к статическому моменту этой же площадки.

где JАx – момент инерции площади S относительно центральной оси, параллельной Аx.

В частном случае, когда стенка имеет форму прямоугольника размерами bL и одна из его сторон лежит на свободной поверхности с атмосферным давлением, центр давления ц.д. находится на расстоянии b/3 от нижней стороны.

ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИКИ

Гидродинамика – раздел гидравлики, в котором изучаются законы движения жидкости и ее взаимодействие с неподвижными и подвижными поверхностями.

Если отдельные частицы абсолютно твердого тела жестко связаны между собой, то в движущейся жидкой среде такие связи отсутствуют. Движение жидкости состоит из чрезвычайно сложного перемещения отдельных молекул.

Основные понятия о движении жидкости

Все потоки жидкости подразделяются на два типа (рис. 9):

1) напорные – без свободной поверхности;

2) безнапорные – со свободной поверхностью.

Все потоки имеют общие гидравлические элементы: линии тока, живое сечение, расход, скорость.

Свободная поверхность – это граница раздела жидкости и газа, давление на которой обычно равно атмосферному (рис. 9,а). Её наличие или отсутствие определяет тип потока: безнапорный или напорный.

Напорные потоки, как правило, наблюдаются в водопроводных трубах (рис. 9,б) – они работают полным сечением. Безнапорные – в канализационных (рис.

9,в), в которых труба заполнена не полностью, поток имеет свободную поверхность и движется самотёком, за счёт уклона трубы.

Линия тока – это элементарная струйка потока, площадь поперечного сечения которой бесконечно мала. Поток состоит из пучка струек (рис. 9,г).

Живое сечение потокаω (м²) это площадь поперечного сечения потока, перпендикулярная линиям тока (направлению течения).

Например, живое сечение трубы – круг (рис. а); живое сечение клапана – кольцо с изменяющимся внутренним диаметром (рис. б).

Рис. Живые сечения: а – трубы, б – клапана

Расход потокаq (или Q) – это объём жидкости V, проходящий через живое сечение потока в единицу времени t:

q = V/t

Единицы измерения расхода в СИ м3/с, а в других системах: м3/ч, м3/сут, л/с.

Средняя скорость потокаV ср (м/с) – скорость движения жидкости, определяющаяся отношением расхода жидкости Q к площади живого сечения ω:

Поскольку скорость движения различных частиц жидкости отличается друг от друга, поэтому скорость движения и усредняется. В круглой трубе, например, скорость на оси трубы максимальна, тогда как у стенок трубы она равна нулю.

Скорости потоков воды в сетях водопровода и канализации зданий обычно порядка 1 м/с.

Следующие два термина относятся к безнапорным потокам.

Смоченный периметрχ (“хи”) – часть периметра живого сечения, где жидкость соприкасается с твёрдыми стенками. (рис., выделен утолщенной линией).

Рис. Смоченный периметр

Для круглой трубы:

если угол в радианах, или

Гидравлический радиус потокаR – отношение живого сечения к смоченному периметру:

Течение жидкости может быть установившимся и неустановившимся. Установившимся движением называется такое движение жидкости, при котором в данной точке русла давление и скорость не изменяются во времени:

υ = f(x, y, z)

P = φ f(x, y, z)

Движение, при котором скорость и давление изменяются не только от координат пространства, но и от времени, называется неустановившимся или нестационарным;

υ = f1(x, y, z, t)

P = φ f1(x, y, z, t)

Течение жидкости может быть напорным и безнапорным. Напорное течение наблюдается в закрытых руслах без свободной поверхности. Напорное течение наблюдается в трубопроводах с повышенным (пониженным давлением). Безнапорное – течение со свободной поверхностью, которое наблюдается в открытых руслах (реки, открытые каналы, лотки и т.п.).

Источник: https://cyberpedia.su/8x112df.html

Сила давления на плоскую горизонтальную и наклонную поверхности. Гидростатический парадокс

Сила давления на наклонную поверхность

Имеем сосуд (рис.8,а) с глубиной воды h. Давление жидкости в какой-либо точке сосуда зависит от глубины погружения этой точки. Если взять точки A, В и C, то давления в них будут соответственно равны

рА = ρ∙g∙hA; рB = ρ∙g∙hB; рC = ρ∙g∙hC .

Сила гидростатического давления на горизонтальную площадку SC

FC = ρ∙g∙hC∙SC .

Сила гидростатического давления на все дно сосуда площадью S может быть определена по формуле

F = ρ∙g∙h∙S .

Рис. 8. Сила давления на плоскую стенку.

Следовательно, суммарная сила давления жидкости на горизонтальную поверхность равна весу столба жидкости, расположенной над рассматриваемой поверхностью.

На рис. 8,б изображены три сосуда различной формы. Площадь дна S всех трех сосудов одинакова. Все сосуды наполнены однородной жидкостью на глубину H. На рис. 8,б H = H1 + H2 Гидростатическое давление на дно во всех сосудах будет одинаковым и равным р = ρ∙g∙Н .

Суммарная сила гидростатического давления на дно любого из трех показанных на рис. 8,б сосудов будет также одинаковой и равной F=р∙S=ρ∙g∙H∙S. Спрашивается, откуда в сосуде I берется дополнительная сила по сравнению c сосудом II и куда пропадает избыток веса жидкости в сосуде III по сравнению c сосудом II? Нет ли здесь противоречия с законами физики?

Законы гидравлики утверждают, что давление жидкости не зависит от формы сосуда, а зависит от глубины погружения площади и ее размеров. В этом и заключается гидростатический парадокс, который может быть объяснен особым свойством жидкости передавать внешнее давление одинаковой величины по всем направлениям (закон Паскаля).

Например, на дно сосуда III действует сум­марная сила гидростатического давления F=ρ∙g∙H∙S. Что касается жидкости, находящейся в объемах (АВС) В1 и (А'В'С') В', то ее вес воспринимается наклонными стенками, a не дном сосуда.

Безусловно, если сосуд III будет стоять на столе, то стол воспринимает вес всей жидкости, находящейся в сосуде. Следовательно, никакого противоречия между законами физики и гидравлики не существует.

Суммарная сила гидростатического давления на дно сосуда зависит от плотности жидкости, глубины наполнения сосуда и величины площади его дна и не зависит от формы сосуда.

B практике часто встречаются плоские поверхности (щиты, стенки), расположенные под каким-либо углом α к горизонту.

Выведем расчетную зависимость для определении силы дав­ления жидкости на наклонную плоскую стенку (рис. 8,в), для чего выделим элементарную площадку dS, расположенную на глубине h. Центр тяжести щита (Ц.T) погружен на глубину h0, площадь стенки равна S. Выберем оси координат так, как это показано на рисунке.

Ось х совпадает с линией пересечения плоскости стенки и свободной поверхности, a ось у направлена вдoль стенки. Справа изображена стенка в плоскости хоу. Эту проекцию мы получим, если плоскость стенки повернем отно­сительно оси у на 90°.

На площадку dS будет действовать элементарная сила гидростатического давления

dF = dS (ρgh + р0)

где ρ – плотность жидкости, кг/м3; ρgh – избыточное гидроста­тическое давление, Па; р0 – давление на свободной поверхности, Па.

Суммарная сила давления F жидкости на весь щит равна сумме элементарных сил, действующих по всей смоченной пло­щади щита. Проинтегрировав по площади S будем иметь

.

B свою очередь

h = y∙sin α ,

тогда

,

где – статический момент площади относительно оси x.

Как известно, статический момент площади равен произведению площади на расстояние у0 от центра его тяжести до рассматриваемой оси. Следовательно,

.

На рис. 8,в видно, что у0∙sinα = h0. Тогда, подставляя значение статического момента и заменяя через h0 получим

F = S (ρgh0 + p0) . (13)

При p0 = pa на щит будет действовать слева атмосферное давление и справа давление со стороны жидкости, направлен­ные навстречу друг к другу. Поэтому формула для этого случая будет иметь вид

F = ρgh0S .

Видно, что суммарная сила давления жидкости на плоскую поверхность равна произведению пло­щади смоченной фигуры на давление в центре ее тяжести.

Нетрудно видеть также, что сила F состоит из двух слагаемых: внешней силы суммарного гидростатического давления р0S и силы избыточного давления ρgh0S. Первая сила приложена в центре тяжести фигуры.

Точка приложения второй силы (центр давления) располагается ниже центра тяжести.

Источник: https://studopedia.su/4_35194_sila-davleniya-na-ploskuyu-gorizontalnuyu-i-naklonnuyu-poverhnosti-gidrostaticheskiy-paradoks.html

Определение силы давления на наклонную стенку

Сила давления на наклонную поверхность

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция: Определение силы давления на наклонную стенку

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим силу давления жидкости на плоскую поверхность, наклоненную к горизонту под углом б. Давление со стороны жидкости в каждой точке этой наклонной поверхности будет разное в соответствии с глубиной погружения.

Для определения силы давления, действующего со стороны жидкости на всю наклонную поверхность, определим сначала силу давления в какой-либо произвольной точке, и затем полученное выражение проинтегрируем. Расставим координатные оси.

Ось Оy направим вдоль наклонной поверхности, начало координат возьмем в точке пересечения свободной поверхности с наклонной. Ось Ох развернем на 900 в плоскости чертежа. В плоскости хОy отобразим наклонную поверхность. Сила давления в точке А будет равна

dP = pdщ = (p + сgh)dщ.

P = p0щ +dщ

P = p0щ +сg sinбdщ

Статический момент площади относительно любой оси, лежащей в той же плоскости, равен произведению этой площади на расстояние до центра тяжести от оси момента.

dщ = yC щ

P = p0щ +сg yC щ sinб

P = p0щ +сg hC щ

yС – координата центра тяжести фигуры

щ – площадь фигуры

hC – глубина погружения центра тяжести

Для того, чтобы определить силу давления жидкости на плоскую стенку необходимо давление в центре тяжести этой фигуры умножить на площадь.

Сила давления со стороны жидкости на наклонную поверхность будет приложена в точке, которая называется центром давлений.

Для определения координаты yD центра давления воспользуемся теоремой о результирующем давлении. Момент результирующей силы равен сумме моментов ее составляющих.

PyD = dP y

fДля простоты записи будем рассматривать только избыточное давление.

P = сg hC щ; dP = сg h dщ;

yD = = yC + J0/ycщ

Момент инерции некоторой площади относительно оси равен моменту инерции проходящей через центр тяжести и параллельный этой оси ( в нашем случае Ох_ равен произведению площади на квадрат расстояния между этими осями.

y2 dщ = J0 + щyC

Сила давления на горизонтальное дно равно весу этой жидкости в объеме цилиндра основанием которого служит эта площадь.

Сила давления на цилиндрическую поверхность.

Рассмотрим некоторую ограниченную часть твердой цилиндрической поверхности, которую назовем цилиндрической стенкой.

Пусть рассматриваемая стенка находится под односторонним воздействием покоящейся жидкости.

Разобьем стенку на элементарные площадки. В силу малости площадок будем считать их плоскими.

давление жидкость инерция

dP = сdщ.

Для цилиндрической стенки кругового сечения элементарные силы давления будучи нормальными к элементарным площадкам направлены по радиусам и следовательно пересекаются в центре сферы или круга.

Расчетная схема А.

Рассмотри силу избыточного давления на цилиндрическую стенку, при этом ось Оy направим параллельно образующей, а ось Оz вертикально вверх. Значение силы давления на цилиндрическую поверхность определяется:

P = ,

где Px и Py – горизонтальная и вертикальная составляющая силы давления.

Выделим на цилиндрической поверхности элементарную площадку, элементарная сила которой равна сg h dщ.

dP = сg h dщ.

Найдем горизонтальную dPx и вертикальную dPz составляющие силы dP.

dPx = dPcos(dP,Ox) = сg h dщ cos(dP,Ox);

dPz = dPcos(dP,Oz) = сg h dщ cos(dP,Oz)/

Учитывая, что

dщ cos(dP,Ox) = dщx;

dщ cos(dP,Oz) = dщz;.

Имеем, dPx = сg h dщx (*)

dPz = сg h dщz

dщx – проекция элементарной площадки на плоскость перпендикулярную оси Оx

dщz – проекция элементарной площадки на плоскость перпендикулярную оси Оz

Проинтегрировав (*) получим для горизонтальной составляющей силы Р: Рх = сg hц.т. щx

щx – проекция всей цилиндрической поверхности на плоскость нормальную к оси Ох;

hц.т – глубина центра тяжести проекции щx под пьезометрической плоскостью.

Для вертикальной составляющей:

Рz = сgzdщz

Координата центра давления равна:

lц.д. = hц.д. = hц.т. + J0/щ hц.т

Pz = сgzdщz = сg WD, где WD = zdщz.

zdщz – представляет собой объем призмы, ограниченной снизу цилиндрической поверхностью, а сверху ее проекцией на пьезометрическую плоскость.

Все направляющие этой призмы вертикальные и прямые. Полученное таким образом тело называется телом давления.Тело давления может быть положительным и отрицательным.

Размещено на Allbest.ru

  • Физические свойства жидкости и уравнение гидростатики. Пьезометрическая высота и вакуум. Приборы для измерения давления. Давление жидкости на плоскую наклонную стенку и цилиндрическую поверхность. Уравнение Бернулли и гидравлические сопротивления.курсовая работа [1,2 M], добавлен 30.11.2014

Источник: https://revolution.allbest.ru/physics/00336218_0.html

Давление жидкости на наклонную поверхность

Сила давления на наклонную поверхность

Как и любой вектор, сила гидростатического давления, действующая на смоченную часть поверхности S плоской стенки произвольной формы, характеризуется величиной (модулем), направлением и точкой приложения.

Предположим, что жидкость действует на наклоненную под углом к горизонту стенку ОС (рис. 14).

Определим величину силы абсолютного давления на плоскую фигуру АВ, расположенную на стенке ОС (рис. 14) /4/.

Рис. 14. К вопросу давления жидкости на плоские стенки

На рис. 14 линия АВ – проекция плоской фигуры площадью на ось . Для определения силы гидростатического давления выделим на смоченной поверхности элементарную площадку , на которую действует сила

где – сила гидростатического давления на поверхности жидкости;
– сила гидростатического давления, создаваемая столбом жидкости.

Интеграл здесь выражает статический момент площади фигуры АВ относительно оси Х, т.е.

где – расстояние от оси х до центра тяжести фигуры или ;  
– глубина погружения центра тяжести площади фигуры в жидкость.

Подставляем значения в выражение силы Р, имеем:

(28)

Таким образом, величина абсолютного гидростатического давления равна произведению площади смоченной части плоской стенки на гидростатическое давление в центре тяжести.

Центр давления – точка приложения равнодействующей избыточного гидростатического давления, необходима для определения размеров щитов, затворов и других сооружений.

Для определения координат , центра давления гидростатической силы воспользуемся теоремой Вариньона: если произвольная система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей относительно любой оси равен алгебраической сумме моментов всех сил этой системы относительно той же оси, или

(29)

где – момент равнодействующей избыточной силы гидростатического давления относительно оси Х (рис. 14), а не абсолютного значения потому, что координата приложения силы будет зависеть только от второй составляющей:    
– сумма моментов, составляющих силу .  

Момент равнодействующей относительно оси Х

(30)

Сумму моментов составляющей силы представим в виде:

(31)

где – плечо элементарной силы относительно оси Х.

В выражении (31) – момент инерции плоской фигуры АВ относительно оси Х , следовательно

(32)

Из условия (29) видно, что

,

тогда координата центра давления

(33)

Из рисунка 14: заменим выражение

(34)

Известно также, что

, (35)

где – момент инерции фигуры относительно оси, проходящей через центр тяжести (приложение 2).

Подставив (34) и (35) в (33), получим

;

или

, (36)

где – расстояние от центра тяжести фигуры до оси Х.

Глубина погружения центра давления может быть определена по формуле:

(37)

Вектор силы давления жидкости на

Криволинейную стенку

В отличие от плоской стенки гидростатическое давление в разных точках криволинейной стенки различается не только по величине, но и по направлению. Поэтому силу гидростатического давления, действующую на криволинейную стенку, непосредственно определить нельзя: ее находят через составляющие этого вектора.

Рис. 15. К определению силы давления на криволинейную стенку

Рассмотрим криволинейную поверхность АВ, подверженную действию избыточного гидростатического давления (жидкость справа) (рис. 15).

Выделим площадку , центр тяжести которой погружен в жидкость на глубину . На площадку будет действовать элементарная сила избыточного давления :

, Н (38)

Разложим на составляющие:

– горизонтальная составляющая силы

, Н (39)

– вертикальная составляющая силы

, Н . (40)

где – угол составляющей между элементарной площадкой и горизонтальной плоскостью, град.

Рассмотрим каждую в отдельную составляющую силы избыточного давления, действующего на криволинейную поверхность АВ.

Элементарная горизонтальная составляющая силы избыточного давления равна

.

В то же время

.

Следовательно

.

Из рис. 15 видно, что

,

где – площадь проекции элементарной площадки на вертикальную плоскость, .

Откуда

.

Горизонтальная составляющая силы избыточного давления после интегрирования равна

(41)

где – статический момент инерции всей площади проекции относительно свободной поверхности жидкости, ;

т.е. статический момент инерции равен произведению площади вертикальной проекции на глубину погружения центра ее тяжести .

Откуда находим

(42)

Элементарная вертикальная составляющая силы избыточного гидростатического давления равна:

, или (43)

Величина является площадью проекции на горизонтальную плоскость . Следовательно

.

Заметим, что представляет собой бесконечно малый объем бесконечно малой призмы, отмеченной на рис. 15 штриховкой.

Произведение является силой тяжести в этом бесконечно малом объеме :

.

Отсюда вертикальная составляющая силы избыточного гидростатического давления будет равна

.

После интегрирования находим:

;

;

. (44)

где – тело давления, .

Объем , являющийся суммой элементарных объемов, называется телом давления.

Тело давления – это объем, ограниченный криволинейной поверхностью АВ, ее проекцией на уровень свободной поверхности АВ и вертикальными плоскостями проецирования.

Полная сила гидростатического давления определяется из выражения

(45)

где – горизонтальная составляющая силы избыточного гидростатического давления, ;
– вертикальная составляющая силы избыточного гидростатического давления, .

Направление полной силы определяется углом (рис. 15):

.

Полная сила избыточного гидростатического давления приложена в центре давления.

Вектор полной силы давления должен проходить через точку пересечения ее горизонтальной и вертикальной составляющих, т.е. и под углом .

Таким образом, центр давления для криволинейных поверхностей находится графоаналитическим путем.

Если криволинейная поверхность цилиндрическая, то сила будет проходить через центр радиуса кривизны этой поверхности.



Источник: https://infopedia.su/5x295e.html

Основы гидростатики

Сила давления на наклонную поверхность

Гидравлика делится на два раздела: гидростатика и гидродинамика. Гидродинамика является более обширным разделом и будет рассмотрена в последующих лекциях. В этой лекции будет рассмотрена гидростатика.

Гидростатикой называется раздел гидравлики, в котором рассматриваются законы равновесия жидкости и их практическое применение.

2.1. Гидростатическое давление

В покоящейся жидкости всегда присутствует сила давления, которая называется гидростатическим давлением. Жидкость оказывает силовое воздействие на дно и стенки сосуда. Частицы жидкости, расположенные в верхних слоях водоема, испытывают меньшие силы сжатия, чем частицы жидкости, находящиеся у дна.

Рассмотрим резервуар с плоскими вертикальными стенками, наполненный жидкостью (рис.2.1, а). На дно резервуара действует сила P равная весу налитой жидкости G = γ V, т.е. P = G.

Если эту силу P разделить на площадь дна Sabcd, то мы получим среднее гидростатическое давление, действующее на дно резервуара.

Гидростатическое давление обладает свойствами.

Свойство 1. В любой точке жидкости гидростатическое давление перпендикулярно площадке касательной к выделенному объему и действует внутрь рассматриваемого объема жидкости.

Для доказательства этого утверждения вернемся к рис.2.1, а. Выделим на боковой стенке резервуара площадку Sбок (заштриховано).

Гидростатическое давление действует на эту площадку в виде распределенной силы, которую можно заменить одной равнодействующей, которую обозначим P.

Предположим, что равнодействующая гидростатического давления P, действующая на эту площадку, приложена в точке А и направлена к ней под углом φ (на рис. 2.1 обозначена штриховым отрезком со стрелкой).

Тогда сила реакции стенки R на жидкость будет иметь ту же самую величину, но противоположное направление (сплошной отрезок со стрелкой). Указанный вектор R можно разложить на два составляющих вектора: нормальный Rn (перпендикулярный к заштрихованной площадке) и касательный к стенке.

Рис. 2.1. Схема, иллюстрирующая свойства гидростатического давленияа – первое свойство; б – второе свойство

Сила нормального давления Rn вызывает в жидкости напряжения сжатия. Этим напряжениям жидкость легко противостоит.

Сила Rτ действующая на жидкость вдоль стенки, должна была бы вызвать в жидкости касательные напряжения вдоль стенки и частицы должны были бы перемещаться вниз.

Но так как жидкость в резервуаре находится в состоянии покоя, то составляющая отсутствует. Отсюда можно сделать вывод первого свойства гидростатического давления.

Свойство 2. Гидростатическое давление неизменно во всех направлениях.

В жидкости, заполняющей какой-то резервуар, выделим элементарный кубик с очень малыми сторонами Δx, Δy, Δz (рис.2.1, б). На каждую из боковых поверхностей будет давить сила гидростатического давления, равная произведению соответствующего давления Px, Py , Pz на элементарные площади.

Обозначим вектора давлений, действующие в положительном направлении (согласно указанным координатам) как P'x, P'y, P'z, а вектора давлений, действующие в обратном направлении соответственно P''x, P''y, P''z.

Поскольку кубик находится в равновесии, то можно записать равенства

P'yΔz=P''yΔz
P'xΔz = P''xΔz
P'xΔy + γΔx, Δy, Δz = P''xΔy

где γ – удельный вес жидкости;
Δx, Δy, Δz – объем кубика.

Сократив полученные равенства, найдем, что

P'x = P''x; P'y = P''y; P'z + γΔz = P''z

Членом третьего уравнения γΔz, как бесконечно малым по сравнению с P'z и P''z, можно пренебречь и тогда окончательно

P'x = P''x; P'y = P''y; P'z=P''z

Вследствие того, что кубик не деформируется (не вытягивается вдоль одной из осей), надо полагать, что давления по различным осям одинаковы, т.е.

P'x = P''x = P'y = P''y = P'z=P''z

Это доказывает второй свойство гидростатического давления.

Свойство 3. Гидростатическое давление в точке зависит от ее координат в пространстве.

Это положение не требует специального доказательства, так как ясно, что по мере увеличения погружения точки давление в ней будет возрастать, а по мере уменьшения погружения уменьшаться. Третье свойство гидростатическогодавления может быть записано в виде

P=f(x, y, z)

2.2. Основное уравнение гидростатики

Рассмотрим распространенный случай равновесия жидкости, когда на нее действует только одна массовая сила – сила тяжести, и получим уравнение, позволяющее находить гидростатическое давление в любой точке рассматриваемого объема жидкости. Это уравнение называется основным уравнением гидростатики.

Пусть жидкость содержится в сосуде (рис.2.2) и на ее свободную поверхность действует давление P0. Найдем гидростатическое давление P в произвольно взятой точке М, расположенной на глубине h.

Выделим около точки М элементарную горизонтальную площадку dS и построим на ней вертикальный цилиндрический объем жидкости высотой h. Рассмотрим условие равновесия указанного объема жидкости, выделенного из общей массы жидкости.

Давление жидкости на нижнее основание цилиндра теперь будет внешним и направлено по нормали внутрь объема, т.е. вверх.

Рис. 2.2. Схема для вывода основного уравнения гидростатики

Запишем сумму сил, действующих на рассматриваемый объем в проекции на вертикальную ось:

PdS – P0 dS – ρghdS = 0

Последний член уравнения представляет собой вес жидкости, заключенный в рассматриваемом вертикальном цилиндре объемом hdS. Силы давления по боковой поверхности цилиндра в уравнение не входят, т.к. они перпендикулярны к этой поверхности и их проекции на вертикальную ось равны нулю. Сократив выражение на dS и перегруппировав члены, найдем

P = P0 + ρgh = P0 + hγ

Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики. По нему можно посчитать давление в любой точке покоящейся жидкости. Это давление, как видно из уравнения, складывается из двух величин: давления P0 на внешней поверхности жидкости и давления, обусловленного весом вышележащих слоев жидкости.

Из основного уравнения гидростатики видно, что какую бы точку в объеме всего сосуда мы не взяли, на нее всегда будет действовать давление, приложенное к внешней поверхности P0. Другими словами давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости по всем направлениям одинаково. Это положение известно под названием закона Паскаля.

Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня (подробно рассмотрим в п.2.6). В обычных условиях поверхности уровня представляют собой горизонтальные плоскости.

2.3. Давление жидкости на плоскую наклонную стенку

Пусть мы имеем резервуар с наклонной правой стенкой, заполненный жидкостью с удельным весом γ. Ширина стенки в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа (от читателя), равна b(рис.2.3). Стенка условно показана развернутой относительно оси АВ и заштрихована на рисунке. Построим график изменения избыточного гидростатического давления на стенку АВ.

Так как избыточное гидростатическое давление изменяется по линейному закон P=γgh, то для построения графика, называемого эпюрой давления, достаточно найти давление в двух точках, например А и B.

Рис. 2.3. Схема к определению равнодействующей гидростатического давления на плоскую поверхность

Избыточное гидростатическое давление в точке А будет равно

PA = γh = γ·0 = 0

Соответственно давление в точке В:

PB = γh = γH

где H – глубина жидкости в резервуаре.

Согласно первому свойству гидростатического давления, оно всегда направлено по нормали к ограждающей поверхности.

Следовательно, гидростатическое давление в точке В, величина которого равна γH, надо направлять перпендикулярно к стенке АВ.

Соединив точку А с концом отрезка γH, получим треугольную эпюру распределения давления АВС с прямымуглом в точке В. Среднее значение давления будет равно

Если площадь наклонной стенки S=bL, то равнодействующая гидростатического давления равна

где hc = Н/2 – глубина погружения центра тяжести плоской поверхности под уровень жидкости.

Однако точка приложения равнодействующей гидростатического давления ц.д. не всегда будет совпадать с центром тяжести плоской поверхности. Эта точка находится на расстоянии l от центра тяжести и равна отношению момента инерции площадки относительно центральной оси к статическому моменту этой же площадки.

где JАx – момент инерции площади S относительно центральной оси, параллельной Аx.

В частном случае, когда стенка имеет форму прямоугольника размерами bL и одна из его сторон лежит на свободной поверхности с атмосферным давлением, центр давления ц.д. находится на расстоянии b/3 от нижней стороны.

2.4. Давление жидкости на цилиндрическую поверхность

Пусть жидкость заполняет резервуар, правая стенка которого представляет собой цилиндрическую криволинейную поверхность АВС (рис.2.4), простирающуюся в направлении читателя на ширину b.

Восстановим из точки А перпендикуляр АО к свободной поверхности жидкости. Объем жидкости в отсеке АОСВ находится в равновесии.

Это значит, что силы, действующие на поверхности выделенного объема V, и силы веса взаимно уравновешиваются.

Рис. 2.4. Схема к определению равнодействующей гидростатического давления на цилиндрическую поверхность

Представим, что выделенный объем V представляет собой твердое тело того же удельного веса, что и жидкость (этот объем на рис.2.4 заштрихован). Левая поверхность этого объема (на чертеже вертикальная стенка АО) имеет площадь Sx = bH, являющуюся проекцией криволинейной поверхности АВС на плоскость yOz.

Cила гидростатического давления на площадь Sx равна Fx = γSxhc.

С правой стороны на отсек будет действовать реакция R цилиндрической поверхности. Пусть точка приложения и направление этой реакции будут таковы, как показано на рис.2.4. Реакцию R разложим на две составляющие Rx и Rz.

Из действующих поверхностных сил осталось учесть только давление на свободной поверхности Р0. Если резервуар открыт, то естественно, что давление Р0 одинаково со всех сторон и поэтому взаимно уравновешивается.

На отсек АВСО будет действовать сила собственного веса G = γV, направленная вниз.

Спроецируем все силы на ось Ох:

Fx – Rx = 0 откуда Fx = Rx = γSxhc

Теперь спроецируем все силы на ось Оz:

Rx – G = 0 откуда Rx = G = γV

Составляющая силы гидростатического давления по оси Oy обращается в нуль, значит Ry = Fy = 0.

Таким образом, реакция цилиндрической поверхности в общем случае равна

а поскольку реакция цилиндрической поверхности равна равнодействующей гидростатического давления R=F, то делаем вывод, что

2.5. Закон Архимеда и его приложение

Тело, погруженное (полностью или частично) в жидкость, испытывает со стороны жидкости суммарное давление, направленное снизу вверх и равное весу жидкости в объеме погруженной части тела.

Pвыт = ρжgVпогр

Для однородного тела плавающего на поверхности справедливо соотношение

где: V – объем плавающего тела;
ρm – плотность тела.

Существующая теория плавающего тела довольно обширна, поэтому мы ограничимся рассмотрением лишь гидравлической сущности этой теории.

Способность плавающего тела, выведенного из состояния равновесия, вновь возвращаться в это состояние называется устойчивостью.

Вес жидкости, взятой в объеме погруженной части судна называют водоизмещением, а точку приложения равнодействующей давления (т.е. центр давления) – центром водоизмещения.

При нормальном положении судна центр тяжести С и центр водоизмещения d лежат на одной вертикальной прямой O'-O”, представляющей ось симметрии судна и называемой осью плавания (рис.2.5).

Пусть под влиянием внешних сил судно наклонилось на некоторый угол α, часть судна KLM вышла из жидкости, а часть K'L'M', наоборот, погрузилось в нее. При этом получили новое положении центра водоизмещения d'.

Приложим к точке d' подъемную силу R и линию ее действия продолжим до пересечения с осью симметрии O'-O”. Полученная точка m называется метацентром, а отрезок mC = h называется метацентрической высотой.

Будем считать h положительным, если точка m лежит выше точки C, и отрицательным – в противном случае.

Рис. 2.5. Поперечный профиль судна

Теперь рассмотрим условия равновесия судна:

1) если h > 0, то судно возвращается в первоначальное положение;
2) если h = 0, то это случай безразличного равновесия;
3) если h

Источник: http://gidravl.narod.ru/osnovstat.html

Сила гидростатического давления на плоские поверхности

Сила давления на наклонную поверхность

Рис.3.11 Рис.3.12

Согласно уравнению гидростатики атмосферное давление передается равномерно по всей глубине h, а давление от столба жидкости — по линейному закону: p = γh. Так как сосуд окружает среда с атмосферным давлением, то действие атмосферного давления через жидкость на стенки компенсируется давлением извне, т. е. силовое воздействие на стенки сосуда окажет только давление столба жидкости.

Гидростатическое давление направлено по нормали к стенкам сосуда согласно его свойству.

2. Сосуд с вертикальными плоскими стенками заполнен жидкостью, на поверхности которой создано избыточное давление ро (рис.3.12). В этом случае силовое воздействие на стенки оказывает как избыточное давление на поверхности, так и давление от столба жидкости.

3. Сосуд с наклонной плоской поверхностью, открытый сверху (рис.3.13).

Рис.3.13 рис.3.14

Построение эпюры аналогично предыдущим случаям.

4. Сосуд, стенка (стенки) которого имеет криволинейную поверхность, например АВ (рис.3.14).

Для построения эпюры гидростатического давления, действующего на поверхность АВ, необходимо через определенный интервал по глубине h провести касательные плоскости к кривизне поверхности и к ним по нормали линии действия давления. Закон изменения давления в этом случае повторит форму криволинейной поверхности.

3.4. Сила гидростатического давления на плоские поверхности

Давление, созданное в жидкости, действуя на поверхности различных устройств и их элементов, создает силу. Плоскими поверхностями могут быть стенки различных резервуаров, тела плотин, клапаны, щиты и затворы.

Определим величину силы, действующей на плоскую поверхность, и точку ее приложения.

Рис.3.15

Представим (рис.3.15) сосуд, наполненный жидкостью и имеющий плоскую стенку ОМ под углом α к горизонту. В плоскости этой стенки наметим оси координат ОУ и ОХ. Ось ОХ направим перпендикулярно к плоскости чертежа.

На стенке сосуда наметим некоторую плоскую фигуру АВ любого очертания, имеющую площадь w. Из точки О проведем ось ОХ, нормальную к направлению АВ, т. е. ось ОХ совместим с плоскостью чертежа. Будем мысленно вращать фигуру АВ вокруг оси ОУ так, чтобы эта фигура совместилась с плоскостью чертежа.

Выделим на площади фигуры бесконечно малую поверхность в виде полоски dw, погруженную на глубину h. При этом расстояние полоски от оси ОХ равно y. гидростатическое давление в области бесконечно малой плоскости согласно основному уравнению гидростатики будет

.

Тогда сила давления на элементарную площадку

. (3.16)

Интегрируя выражение (3.16) в пределах площади ω и заменив h = у·sinα, получим

. (3.17)

Интеграл представляет собой статический момент площади фигуры АВ относительно оси ОХ. Из механики известно, что

= yсw, (3.18)

где ус – расстояние центра тяжести площади фигуры АВ относительно оси ОХ.

Подставив (3.18) в (3.17) и заменив ycsinα = hc, получим силу, действующую на площадь ω:

(3.19)

Это означает, что сила давления P жидкости на плоскую фигуру, погруженную в жидкость, равна произведению этой площади ω на гидростатическое давление в ее центре тяжести (po+γhc).

Из формулы (3.19) следует, что сила Р состоит из двух сил: силы роω и силы γhсω. Сила pоω создает равномерную нагрузку и приложена в центре тяжести фигуры площадью ω. Сила γhсω создает неравномерную нагрузку и поэтому точка ее приложения не совпадает с центром тяжести фигуры.

Эта точка называется центром гидростатического давления; обозначается она буквой d.

Для нахождения точки приложения силы γhсω применим теорему механики о моменте равнодействующей силы: момент равнодействующей силы относительно оси ОХ равен сумме моментов от элементарных сил:

. (3.20)

Интеграл представляет собой момент инерции Ix площади ω относительно оси ОХ. Из механики известно, что

, (3.21)

где Ic — момент инерции площади относительно оси ОХ, проходящей через центр тяжести.

Подставим выражение (3.21) в (3.20):

. (3.22)

Из выражения (3.22) следует, что центр гидростатического давления yd находится ниже центра тяжести на величину эксцентриситета .

3.5. Сила гидростатического давления, действующая

на криволинейные поверхности

В технике, в частности машиностроении, приходится встречаться как с простыми, так и со сложными криволинейными поверхностями, подверженными гидростатическому давлению (сферические крышки резервуаров, стенки круглых трубопроводов, цилиндрических баков, цистерн и т. д.).

Если при определении силы полного гидростатического давления, действующего на плоские фигуры, по существу производится простое сложение параллельных сил, то при решении аналогичной задачи для криволинейных поверхностей приходится суммировать силы, имеющие различные направления. Это обстоятельство значительно усложняет задачу, требуя применения специальных расчетных приемов.

Принцип, положенный в основу существующих решений, заключается в определении составляющих сил полного гидростатического давления по нескольким направлениям, с последующим геометрическим сложением этих частных сил.

Рассмотрим криволинейную поверхность АВ, подверженную действию избыточного гидростатического давления только от столба жидкости (рис.3.16).

Рис.3.16

Выделим на этой поверхности бесконечно малую полоску площадью dω, центр тяжести которой погружен в жидкости на глубину h. На эту элементарную полоску нормально к криволинейной поверхности действовует сила dР=γhdω, которую можно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие: dРх и dРz. Сила dР наклонена к горизонту под углом α. Тогда

dРх=dР·cosα, dРz =dР·sinα,

или dРх=γhdω·cosα; dРz = γhdω ·sinα.

Из рисунка видно, что dω·cosα является площадью проекции элементарной полоски dω на вертикальную плоскость, т. е. dω·cosα = dωz. следовательно, dРх= γhdωz.

Тогда горизонтальная составляющая силы избыточного давления на рассматриваемую криволинейную поверхность

Здесь является статическим моментом всей площади вертикальной проекции криволинейной поверхности ωz относительно свободной поверхности жидкости, совпадающей с осью ОХ: .

Таким образом

Рх= γhc ωz. (3.23)

Другими словами, горизонтальная составляющая Рх выражается произведением площади проекции криволинейной фигуры на вертикальную плоскость на гидростатическое давление в центре тяжести этой площади.

Точка ее приложения, т. е. расстояние от свободной поверхности до центра давления определяется аналогично, как и для плоской поверхности.

Источник: http://fiziku5.ru/uchebnye-materialy-po-fizike/sila-gidrostaticheskogo-davleniya-na-ploskie-poverxnosti-3

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.